Semana 1
-Indicaciones Generales:
- Presentacion de la tutor.
- Creacion del Gmail.
- Explicacion y ejemplificacion de la construciion del blog.
- Presentacion de deberes, pruebas, examenes.
- Metodo de Calificacion.
- Formatos respectivos para cada uno de estos.
Jueves 9
Numero Complejo
- Todo numero real es un numero complejo.
- No todo numero complejo es un numero real.
- Números complejos en forma binómica
- Al número x + yi le llamamos número complejo en forma binómica.
- El número x es la parte real del número complejo.
- El número y es la parte imaginaria del número complejo.
- Si y = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = x.
- Si x = 0 el número complejo se reduce a yi, y se dice que es un número imaginario puro.
- El conjunto de todos números complejos se designa por
. - El conjunto de todos números complejos se designa por .
- Los números complejos x + yi y -x -yi se llaman opuestos.
- Los números complejos z= x + yi y z = x − yi se llaman conjugados.
- Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.
- Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
Enlace Externo:
http://www.vitutor.com/di/c/a_4.html
Algunas graficas con numeros complejos:
OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO.
Definición: Un numero complejo es 0 si tanto su parte real como imaginaria son 0Z = ( a , b )
Si: a= 0
b= 0El opuesto de un numero complejo z es - z
Si Z= (a,b) - Su opuesto es -z = (-a, -b)
Graficamente el opuesto se ubica en direccion contraria al numero complejo dado.
Definición: Un numero complejo es 0 si tanto su parte real como imaginaria son 0Z = ( a , b )
Si: a= 0
b= 0El opuesto de un numero complejo z es - z
Si Z= (a,b) - Su opuesto es -z = (-a, -b)
Graficamente el opuesto se ubica en direccion contraria al numero complejo dado.
Suma de números complejos
La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.
Propiedades de la suma de números complejos
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
· Conmutativa
Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:
(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )
(2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i
(-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i
· Asociativa.- Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:
[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]
Ejemplo:
[(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i
(5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i
· Elemento neutro.- El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que
(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi
El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».
· Elemento simétrico.- El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (- a - bi ):
(a + bi ) + (-a - bi) = 0 + 0i = 0
Ejemplo:
El simétrico de 2 - 3i es -2 + 3i pues (2 - 3i ) + (-2 + 3i ) = 0
Multiplicación de números complejos en forma binómica
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i al cuadrado = −1.
Propiedades del producto de complejos
· Conmutativa.- Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que:
· Asociativa .-Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:
[(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )]
Existencia del Conjugado:
· Elemento neutro
El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i = 1, puesto que para cualquier complejo a + bi , (a + bi ) (1 + 0 · i ) = (a + bi ) · 1 = a + bi .
El elemento neutro es el uno.
· Distributiva del producto con respecto a la suma.- Dados tres números complejos a + bi , c + di y e + fi , se cumple:
(a + bi ) [(c + di ) + (e + fi )] = (a + bi ) (c + di ) + (a + bi ) (e + fi )
Ejemplo:
(1 - 2i ) [3i + (2 - 7i )] = (1 - 2i ) (2 - 4i ) = 2 - 4i - 4i + 8i 2 = -6 - 8i
(1 - 2i ) 3i + (1 - 2i ) (2 - 7i ) = (3i - 6i 2) + (2 - 7i - 4i + 14i 2) =
= (3i + 6) + (-12 - 11i ) = - 6 - 8i
El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.
El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, ·).
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/sumproc.htm
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
Propiedades.
- |z| = 0 ==> z = 0
- |-z| = |z|
- |z´| = |z|
- |z1 + z2| < |z1| + |z2| (Llamada propiedad triangular).
- |z1| - |z2| < |z1 - z2|
- |z1 · z2| = |z1| · |z2|
- Si c
CR, |c·z| = |c| · |z|, donde |c| es el valor absoluto de c.
Enlaces Relacionados:
SEMANA 2
Division de numeros complejos
Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador y se realizan las operaciones correspondientes.
Describir y construir graficas:
Esta expresión, z = r·(cos x + i·sen x), recibe el nombre de forma trigonométrica de z, donde r es el módulo de z y x su argumento. Definimos la forma polar del número complejo z = r·(cos x + i·sen x) como rx.
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:Su módulo es el producto de los módulos.
Su argumento es la suma de los argumentos.
Potencias y raíces de números complejos
La operación de la potenciación en los números complejos se simplifica mucho si serecurre a la representación gráfica de estos números en el plano cartesiano. Si 
, se identifica a 
con el par ordenado 
y se representa como un punto en el plano cartesiano de la manera usual (ver figura de la derecha).
, se identifica a con el par ordenado y se representa como un punto en el plano cartesiano de la manera usual (ver figura de la derecha).
Fórmula de De Moivre
La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquierentero n.
Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x. Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.
Logaritmo Complejo:
En análisis complejo, una función logaritmo complejo es una "función inversa" de la función exponencial compleja, de la misma manera que el logaritmo natural ln x es la función inversa de la función exponencial ex. Entonces, un logaritmo de z es un número complejo w tal queew = z.1 La notación para tal w es log z. Pero debido a que todo número complejo z distinto de cero tiene infinitos logaritmos distintos,1 hay que tener cuidado para darle a esta notación un significado no ambiguo.
Si z = reiθ con r > 0 (forma polar), entonces w = ln r + iθ es un logaritmo de z; sumándole múltiplos enteros de 2πi se obtienen todos los demás.1
Ejercicios varios
Topologia del Plano Complejo.
Pretendemos dotar al plano complejo C de una estructura topológica. Si
de lo que se trata es de buscar entre los candidatos, la topología asociada a la
distancia dada por el valor absoluto habrá de ser la primera a considerar:
En estas circunstancias, se van a veri…car las siguientes propiedades que
resumimos sin demostración:
Funciones complejas de variable compleja
SEMANA 4
Límites y Continuidad de una Función Compleja de Variable Compleja
Recordemos que una función real f de variable real sobre un conjunto de números reales es una función que asigna a un número real x ∈D otro número real y = f(x).
Este concepto se generaliza fácilmente al caso complejo:
Una función compleja de variable compleja f definida sobre un conjunto D de números complejos es una función que asigna a cada número complejo z ∈D otro número complejo w = f(z) y la representamos con la notación f : D→ℂ.
SEMANA 4
Límites y Continuidad de una Función Compleja de Variable Compleja
Sea ƒ: D ⊆ C → C, una función compleja de variable compleja z, definida en la región D ⊆ C excepto posiblemente en Z0 entonces diremos que el límite de f(z) es el número complejo L cuando z se aproxima a Z0 , si y sólo sí, para todo ξ>0, existe un δ>0, tal que:
Continuidad de una Función Compleja
Una vez estudiada la noción de límite de una función de variable compleja, pasamos a abordar la continuidad de las misma. Como en el caso real una función f : A ⊆ C → C se dirá continua en z0 ∈ A si existe el límite de f(z) cuando z→z0 y además lim (z)→(z0), f(z) = f(z0).
La función f se dirá continua en A si es continua en todo punto de A.
Como no podía ser de otra manera, la continuidad de f ocurre si y sólo si son continuas la funciones coordenadas Ref e Imf.
Se dice que lim (z)→(z0) f(z) = ∞ si para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si |z − z0| < δ, entonces |f(z)| > M.
Se dice que lim (z)→∞ f(z) = l si para todo ε > 0 existe N > 0 tal que si |z| > N, entonces |f(z)−l| < ε.
Por último, diremos que lim (z)→∞ f(z) = ∞si para todo M > 0 existe N > 0 de manera que si |z| > N, entonces |f(z)| > M.
Los límites de funciones de variable compleja tienen las siguientes propiedades que son análogas a aquellas de los límites de funciones del plano.
(L1) Si el límite existe, entonces es único.
(L2) lim (z)→(z0)f(z) = l si y sólo si lim (z)→(z0) Ref(z) = Rel ylim (z)→(z0) Imf(z) = Iml.
Derivada de una funcion Compleja.
Obviamente, en la definición se exige que z = z0 + h 0 U. Obsérvese que esta definición no difiere de la expresión formal de la derivada de funciones reales de una variable real aunque, evidentemente, no es lo mismo. Tampoco es la matriz derivada en funciones de R2 en R2.
Una función que sea analítica en todo el plano complejo, C, se denomina función entera.
El siguiente teorema nos proporciona una forma muy cómoda de verificar la
derivabilidad y, en su caso, la analiticidad de una función en un punto, pues nos remite al
estudio de las componentes (real e imaginaria) de f, las cuales son funciones de variable real.
Se dice que una función, f(z), es analítica en un punto z0 si es derivable en todos los puntos dealgún entorno de z0. Una función que es analítica en cada uno de los puntos de un conjuntoabierto, U, diremos que es analítica en U. (También se denominan a las funciones analíticas
Enlaces Relacionados:
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/divcom.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Naturales_complejos/10_division.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Naturales_complejos/10_division.htm
No hay comentarios:
Publicar un comentario
abril