Mayo

SEMANA 1

 Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Supongase que f (z) = u(x; y) + v(x; y) i es derivable en el
punto zo = xo + yo i . Entonces existen las primeras derivadas
parciales de las funciones u(x; y) y v(x; y) en el punto (xo; yo)
y estas deben cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

Función analítica

En matemáticas una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente. Una función analítica es suave si tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en unabierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica.

                                                            

SEMANA 2

FUNCIONES TRASCENDENTES

Función Exponencial: f(z)=exp(z) ó f(z)=e^z

SEMANA 3

Integracion en el plano complejo

Funciones complejas de variable real
Una funci´on compleja de variable real es una funci´on w : [a, b] → C, donde
−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞. La parte real y la parte imaginaria de w son dos funciones
reales de variable real:
w(t) = u(t) + iv(t),
de modo que, a todos los efectos, w puede interpretarse como una funci´on w :
[a, b] → R2. Como tal, la definici´on l´ogica de derivada es
w′(t) = u′(t) + iv′(t),
admitiendo que u y v son derivables en t.

Las reglas del c´alculo de funciones reales se mantienen para funciones complejas de variable real (linealidad, regla del producto, regla del cociente y regla de la cadena). Tambi´en se mantienen la mayor´ıa de los resultados (con alguna excepci´on, como el teorema del valor medio, que no se cumple para este tipo de funciones).
De manera an´aloga a las derivadas, las integrales de funciones complejas de variable real se definen como donde se supone que u y v son funciones integrables en (a, b). Las integrales pueden ser impropias. Esta definici´on se resume en las dos identidades

Integral Indefinida

F ( z ) es una integral indefinida (o primitiva) de una función compleja f(z) si F'(z) = f(z) para z ∈D, un cierto dominio.
La notación que se utiliza es esta:∫ f ( z ) d z = F ( z )

 Integrales de linea

Una funci´on compleja de variable real lleva asociada una funci´on vectorial de variable real,por lo que las definiciones y resultados para funciones vectoriales de variable real se trasladan inmediatamente a las funciones complejas de variable real gracias a la identificaci´on C = IR2 .
Por otra parte, los resultados para funciones complejas en general, son v´alidos tambi´en para estas funciones.
As´ı pues, nos limitaremos a recordar un par de definiciones adaptadas a la notaci´on compleja:

SEMANA 4

Conjunto conexo

Un conjunto conexo es un subconjunto de un espacio topológico (donde  es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser descrito como unión disjunta de dos conjuntos abiertos de la topología.
Intuitivamente, un conjunto conexo es aquel formado por una sola 'pieza', que no se puede 'dividir'. Cuando un conjunto no sea conexo, diremos que es disconexo.
Formalmente, es un conjunto conexo si y sólo si implica  Notar que si , entonces tendremos que es conexo si y sólo si  implica . En este caso,  se llama espacio topológico conexo.
Bajo estas definiciones, se tiene que  es conexo si y solamente si es un espacio topológico conexo para la topología traza.

Curvas  Simples

Vamos a estudiar algunas aplicaciones del calculo diferencial e integral a funciones que est´an definidas sobre los puntos de una curva del plano o del espacio, como por ejemplo la temperatura de un m´ovil en el espacio, o el trabajo generado por un m´ovil en un campo de fuerzas. Para ello, empezaremos por dar una definici´on de las curvas mediante funciones que podamos manipular. Para unificar las definiciones en el plano y en el espacio, escribiremos Rn, donde n puede ser 2 o 3.

Definici´on (Curvas en Rn).

Un conjunto C de Rn es una curva regular y simple si existe una funci´on : [a, b] −! Rn inyectiva y regular tal que C = ([a, b])

Fórmula integral de Cauchy

El siguiente teorema denominado Fórmula Integral de Cauchy es fundamental y nos explica que una función analítica dentro de un contorno simple y cerrado queda completamente determinada por los valores en dicho contorno, es decir, no hay que explicitar dicha función en el interior del conjunto encerrado por la curva.
Antes de enunciarlo vemos algunas propiedades que nos van a ser útiles en el proceso
de demostración del resultado.

Nota: Cuando hablamos de z0 interior a C queremos indicar que es un punto interior a la región acotada que tiene como contorno la curva C.

Enlaces Relacionados: 
http://www.matematicasypoesia.com.es/ProbVarCompleja/ProbVarComPreg2.htm
http://materias.fi.uba.ar/6110M/ejercicios_resueltos.htm
- netlizama.usach.cl/Apuntes%20Variable%20Compleja.pdf