SEMANA 1

Sucesion

Una sucesi on, representada matem aticamente como fzng, es una funci on cuyo dominio son los enteros positivos (1; 2; 3; 4; : : :); en otras palabras, a cada entero n = 1; 2; 3 : : : se le asigna un n umero complejo zn. Por ejemplo, la sucesi on f1 + ing representar a la funcion.

L imite de una Sucesi on

Se dice que una sucesi on fzng converge al valor L si paracualquier medida de cercan a > 0 existe una posici on no a partir de la cual todos los terminos siguientes de la sucesi on aproximan a L con un error menor que ; es decir, distan de L en menos que E :

SERIES

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

a_1 + a_2 +a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \dots \;\;

lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

\sum_{1\le n} a_n

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Series Especiales

Criterios de Convergencia

Criterio de la Razon

Criterio de la Raiz

Radio de Convergencia

Criterio de Comparación

SEMANA 2

Serie de Taylor

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como

( x-a )^n

llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto

a

suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero,

a=0

, se le denomina serie de McLaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent). Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

Desarrollo de Serie de Taylor

Ya que no hay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo tanto no se podría escribir la solución en forma cerrada y por consiguiente tendríamos que conformarnos con alguna aproximación numérica.
Apliquemos inicialmente el método de Taylor.

SEMANA 3

Serie de Maclaurin

Dada una serie entera o de potencias, ya nos hemos ocupado del problema de hallar su suma. Ahora, partimos de una función

f definida en un intervalo

I centrado en el origen y nos planteamos:

¿Existe una serie entera cuya suma sea igual a

f en

I?
En caso afirmativo, ¿es única tal serie?

Problema de unicidad. Se resuelve afirmativamente con el siguiente teorema:

TEOREMA. Sea

I un intervalo abierto centrado en

0 y

f una función definida en

I. Si

fes igual en

I a la suma de una serie entera, esta serie es necesariamente

f (0) + f ' ( 0 ) 1 ! x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + \dots + f ( n ) ( 0 ) n ! + \dots .

TEOREMA DEL RESIDUO

El teorema de los residuos es consecuencia directa del teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.